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求Z=f(xy,y/x)的所有二阶偏导数.

另u=(x+y),v=(xy); dz/dx=(dz/du)*(du/dx)+(dz/dv)*(dv/dx); 其中f'1=dz/du;f'2=dz/dv; f"11:对f'1,这个二元函数对于u即(x+y)这个自变量求导;同理。。。。 (当对x求导是y看为常数) (f"12=f"21(偏导数连续时)) d^2/z/dxdy=。。。。。。

设u=xy,v=y/x,则z=f(u,v),所以ðz/ðx=f'1*ðu/ðx+f'2*ðv/ðx=yf'1-yf'2/x^2,注意到f'1,f'2还是关于u,v的复合函数,所以ð^2z/ðxðy=f'1+y(f''11*x+f''12/x)-f'2/x^2-y(f''21*x+f''22/x),因为f''12=f''21...

主要步骤如上图。

共同探讨

求偏导数就像求导数一样,只需把其它变量看成常数即可: Dz/Dx = f'1*y+f'2*(-y/x²), D²z/DxDy = [f"11*x+f"12*(1/x)]*y + f'1 + [f"21*x+f"22*(1/x)]*(-y/x²) + f'2*(-1/x²) = ……。

对 z = f(y/x,x²y), 分别对 x,y 求偏导数,有 Dz/Dx = f1*(-y/x²)+f2*(2xy) = -(y/x²)f1+2xyf2, Dz/Dy = f1*(1/x)+f2*x² = (1/x)f1+x²f2, 进而 D²z/Dx² = (D/Dx)[-(y/x²)f1+2xyf2] = -(-2y/x³)f1-(...

如图

主要是理解二阶导数的求法,依次对被求导变量进行求导即可: 第一步:计算Z对X的偏导: 第二步:计算上式对Y的偏导: 注意:这里 表示f对第一个分量的导数,其它符号意义一致。

如图所示

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